domingo, 8 de febrero de 2009

E S T A T I C A




Guión de estudios de la maetria:



1 Análisis de la partícula

1.1 Introducción

1.2 Concepto de fuerza, vector

1.3 Descomposición de fuerzas en 2 y 3 dimensiones (expresión de fuerzas con vectores unitarios, cosenos directores)

1.4 Sistema de fuerzas concurrentes

1.5 Equilibrio de una partícula


2 Análisis del cuerpo rígido

2.1 Fuerzas internas y externas

2.2 Principio de transmisibilidad

2.3 Diagrama de cuerpo libre

2.4 Momento de una fuerza con respecto a un punto

2.5 Momento de una fuerza con respecto a un eje

2.6 Par de fuerzas

2.7 Descomposición de una fuerza en una fuerza y un par

2.8 Sistemas equivalentes de fuerzas

2.9 Fuerzas coplanares

2.10 Fuerzas concurrentes

2.11 Restricciones al movimiento y fuerzas reactivas

2.12 Equilibrio en cuerpos rígidos sujetos a sistemas de fuerzas

2.13 Determinación de reacciones por medio de sistemas equivalentes


3 Método de análisis de estructuras

3.1 Introducción

3.2 Análisis de armadura en el plano

3.3 Análisis de marcos isostáticos

3.4 Análisis de maquinas de baja velocidad

3.5 Método del trabajo virtual


4 Propiedades de aéreas planas y líneas

4.1. Introducción

4.2. Primer momento de líneas y aéreas (centroides y centros de gravedad de aéreas por integración y compuestas)

4.3. Segundo momento de área (simple, polar de área, teorema de ejes paralelos en 2 dimensiones, segundo momento de aéreas compuestas)


5 Fricción

5.1 Fricción

5.2 Fricción seca

5.3 Leyes de fricción

5.4 Coeficientes y ángulos de fricción

5.5 Análisis en planos inclinados



VECTORES

Características de los vectores:
  • Magnitud
  • Dirección
  • Sentido


Magnitud dada por el módulo:




Definición de un vector en el plano mediante sus componentes

Si v es un vector en el plano cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto final es , entonces el vector v queda dado mediante sus componentes de la siquiente manera:
v=
Si las coordenadas v1 y v2 son los componentes de v. Si el punto inicial y el punto final están en el origen, entonces v es el vector cero y se denota por


Problema: Hallar los componentes y magnitud del vector que tiene como punto inicial 3,-7 y punto final -2,5.

v (v1,v2)
P (3,-7)
Q (-2,5)


Segmento del plano dirigido

PQ=
= <-2-3 , 5-(-7)>
V=<-5 , 12>




Tarea: Hallar los vectores u y v cuyos puntos inicial y final se dan. Mostrar que u y v son equivalentes.

u: P (3,2) Q (5,6)
v: P (-1,4) Q (1,8)



PQ= Q1-P1 , Q2-P2
=<5-3>
U=<2,4>



PQ= Q1-P1 , Q2-P2
=<1-(-1)>
V=<2>





u: P (0,3) Q (6,-2)
v: P (3,10) Q (9,5)



PQ= Q1-P1 , Q2-P2
u=<6-0>
u=<6>



PQ= Q1-P1 , Q2-P2
v=<9-3>
<6>





Un lanchón es arrastrado con dos remolcadores, si la resultante de las fuerzas ejercidas es una fuerza de 5000 lb dirigida a lo largo del eje del lanchón, determina la tensión de cada una de las cuerdas.

















Fuerzas Concurrentes

Encontrar la resultante




Trigonométrica resultante












Componentes rectangulares de un vector

ϴ


ϴ - ángulo que forma e vector con el lado positivo del eje de las x's.








Un hombre jala una cuerda atada a un edificio de 300 N como se muestra en la figura. Cuáles son los componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida?




Cuáles son los componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida en el punto A ?






















Por Teorema de Pitágoras














Una fuerza f de 700 lb en sentido i más 1500 lb j se aplica a un perno. Determine la magnitud de la fuerza y el ángulo que forma cn la horizontal.




















Si la tensión en el cable BC es 145 lb, determine la resultante de las fuerzas ejercidas en el punto B de la viga.





Diagrama de cuerpo libre











































Equilibrio de la partícula


Una partícula se encuentra en equilibrio, cuando las fuerzas que actúan sobre ella satisfacen:





La solución a este tipo de problemas puede ser gráfica o analítica.





Suponga que el peso de la tarima es 75 kg. Encuentre las tensiones en la cuerda.






Diagrama de cuerpo libre (Punto C)






Como la partícula está en equilibrio














Dos semáforos A y B; si el que cuelga en B pesa 300 N, determine el peso del que cuelga en C.





Diagrama de cuerpo libre en C




\alpha=tan^{-1}\left(\frac{1.5}{3.6}\right)=22.61^o

B=tan^{-1}\left(\frac{0.4}{3.4}\right)=6.70^o


Punto B





\frac{TBA}{sen(83.3^o)}=\frac{300 N}{sen(29.3^o)}


TBA=608.83 N


\frac{TBC}{sen(67.39^o)}=\frac{300 N}{sen(29.3^o)}


TBC=565.90 N



Punto C





\frac{566N}{sen(73.74^o)}=\frac{C}{sen(9.56^o)}=\frac{TCD}{sen(96.7^o)}


C=\frac{sen(9.56^o)(566N)}{sen(73.74^o)}


C=97.91N



Fuerzas en el espacio






\bar{F}=Fx\hat{i}+Fy\hat{j}+Fz\hat{k}


F=|\bar{F}|=\sqrt{Fx^2+Fy^2+Fz^2}


Proyecciones del vector en los ejes:


Fx=Fcos\theta x

Fy=Fcos\theta y

Fz=Fcos\theta z


\bar{F}=F(cos\theta x\hat{i}+cos\theta y\hat{j}+cos\theta z\hat{k})

x


Donde \lambda - vector unitario podemos decir que: \bar{F}=F\lambda


\lambda=cos\theta x\hat{i}+cos\theta y \hat{j}+cos\theta z\hat{k}



cos\theta x=\frac{Fx}{|\bar{F}|} cos\theta y=\frac{Fy}{|\bar{F}|} cos\theta z=\frac{Fz}{|\bar{F}|}



Encuentre los ángulos con respecto a los ejes x, y z.

F=12\hat{i}+20\hat{j}-30\hat{k} [lb]



F=|\bar{F}|=\sqrt{12^2+20^2+(-30)^2}


F=\sqrt{144+400+900}=381lb


\theta x=arc cos \left(\frac{12}{38}\right)=71.59^o

\theta y=arc cos \left(\frac{20}{38}\right)=58.24^o

\theta z=arc cos \left(\frac{-30}{38}\right)=142.13^o



Una sección de pared de concreto se mantiene por los cables tensados, la tensión es de 840 lb en el cable AB y 1200 lb en el cable AC. Determine la magnitud y la dirección de las resultantes ejercidas por los cables AB y AC sobre la estaca A.




A (16 , 0 , -11)
B (0 , 8 , 0)
C (0 , 8 , -27)

Definir Segmentos







\bar{T}AB=TAB\lambda AB



\lambda AB=\frac{\bar{AB}}{|\bar{AB}|}=\frac{-16\hat{i}+8\hat{j}+11\hat{k}}{\sqrt{(-16)^2+8^2+11^2}}

\lambda AB=\frac{-16}{21}\hat{i}+\frac{8}{21}\hat{j}+\frac{11}{21}\hat{k}



\lambda AC=\frac{\bar{AC}}{|\bar{AC}|}=\frac{-16\hat{i}+8\hat{j}-16\hat{k}}{\sqrt{(-16)^2+8^2(-16)^2}}

\lambda AB=\frac{-16}{24}\hat{i}+\frac{8}{24}\hat{j}+\frac{-16}{24}\hat{k}




\bar{T}AB=TAB\lambda AB=840(-0.76\hat{i}+0.38\hat{j}+0.52k)


\bar{T}AB=-638\hat{i}+319\hat{j}+436k


\bar{T}AC=TAC\lambda AC=1200(-0.66\hat{i}+0.33\hat{j}-0.66k)


\bar{T}AC=-792\hat{i}+396\hat{j}-792k


\bar{R}=\bar{T}AB+\bar{T}AC


\bar{R}=(-638+(-792))\hat{i}+(319+396)\hat{j}+(436+(-792))k


\bar{R}=-1430\hat{i}+715\hat{j}-356k

|\bar{R}|=\sqrt{(-1430)^2+(715)^2+(-356)^2}=1638lb



\theta x=arc\:cos\left(\frac{-1430}{1638}\right)=150.8^o


\theta y=arc\:cos\left(\frac{715}{1638}\right)=64.11^o


\theta z=arc\:cos\left(\frac{-356}{1638}\right)=102.55^o




Encuentre las componentes de las fuerzas ejercidas sobre el árbol. Encuentre ϴx, ϴy, ϴz.





TAB = 4.2 kN

4.2 (sen 40) = 2.70
4.2 (cos 40) = 3.21


TABy=TAB\;sen40^o=2.69


TABx=TAB\;cos40^ocos40^o=2.46


TABz=TAB\;cos40^osen40^o=2.06



\theta x=|TAB|=\sqrt{(-2.69)^2+(2.06)^2+(2.46)^2}=4.18



\theta x= arc\:cos\frac{TABx}{|TAB|}=\frac{2.46}{4.18}=53.94^o


\theta y= arc\:cos\frac{TABy}{|TAB|}=\frac{-2.69}{4.18}=130^o


\theta z= arc\:cos\frac{TABz}{|TAB|}=\frac{2.06}{4.18}=60.47^o



Momento con respecto a un punto


Una fuerza P de 3 lb se aplica a una palanca que controla la barrena de una barredora de nieve. Determine el momento de P respecto a A cuando \alpha es igual a 30°.





B (-3.4 , 4.8)
A (0 , 0)


\bar{P}=3cos(240^o)\hat{i}+3sen(240^o)\hat{j}[lb]


\bar{P}=-1.5\hat{i}-2.6\hat{j}[in]


\bar{r}=-3.4\hat{i}+4.8\hat{j}[in] (coordenadas)


Producto vectorial


Mo=\bar{r}\;X\;\bar{P}


Mo=(-3.4\hat{i}+4.8\hat{j})\;X\;(-1.5\hat{i}-2.6\hat{j})


Mo=8.84\hat{k}-7.2(-\hat{k})


Mo=8.8\hat{k}+7.2\hat{k}


Mo=16.04 \;\;lb-in



Un pequeño bote cuelga de dos grúas, una de las cuales se muestra en la figura. La tensión en la línea AB AD es de 369 N. Determine el momento, respecto a C, de la fuerza resultante RA ejercida sobre las grúas en el punto A.






\bar{T}AB=369(-j)=-369\hat{j}


A (0 , 3.1 , 1.2)
B (0 , -j , 1.2)



\bar{T}AD=369(\lambda AD)


\lambda AD=\frac{\bar{AD}}{|AD|}=\frac{2.4\hat{i}-3.1\hat{j}-1.2k}{\sqrt{(2.4)^2+(-3.1)^2+(1.2)^2}}


\lambda AD=\frac{2.4\hat{i}-3.1\hat{j}-1.2k}{4.1}


\bar{T}AD=246\hat{i}-279\hat{j}-108k


\bar{T}AB=\;\;\;\;\;\;\;\;-369\hat{j}
________________________

\bar{R}A=216\hat{i}-648\hat{j}-108k


A (0 , 0 , 0)
B (2.4 , -3.1 , -1.2)


RA=2\;TAB+\bar{T}AD (porque lo sujetan dos cuerdas)

A (0 , 0 , 0)
C (0 , -3.1 , -1.2)

rCA=0\hat{i}+3.1\hat{j}+1.2k



Mc=rCA\;X\;RA=\left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat {k} \\ 0 & 3.1 & 1.2 \\ 216 & -648 & -108 \end{matrix} \right|



Mc=\hat{i}\left|\begin {matrix} 3.1 & 1.2 \\ -648 & -108 \end {matrix} \right|-\hat{j}\left|\begin{matrix}0 & 1.2\\216&-108\end{matrix}\right|+\hat{k}\left|\begin{matrix}0&3.1\\216&-648\end{matrix}\right|



Mc=\hat{i}(3.1(-108)-1.2(-648))-\hat{j}(0(-108)-1.2(216))+\hat{k}(0(-648)-3.1(216))


Mc=442.8\hat{i}+259.2\hat{j}-669.6\hat{k}




Se utilizan tres cables para sostener un contenedor como se muestra en la figura. Determine el ángulo formado por los cables AB y AD.





Para determinar el ángulo:


cos\theta =\frac{\bar{u}\;\bar{v}}{|u||v|}


A (0 , -0.9 , 0)
B (0.56 , 0 , 0)
D (-0.52 , 0 , 0.36)


\bar{u}=\bar{AB}=0.56\hat{i}+0.9\hat{j}


\bar{v}=\bar{AD}=-0.52\hat{i}+0.9\hat{j}+0.36\hat{k}



(0.26\hat{i}+0.9\hat{j})(-0.52\hat{i}+0.9\hat{j}+0.36\hat{k})=0.51



|u|=\sqrt{(0.56)^2+(0.9)^2}=106



|v|=\sqrt{(-0.52)^2+(0.9)^2+(0.36)^2}=1.1



cos\theta=\frac{0.51}{(1.06)(1.1)}


\theta=cos^{-1}\left(\frac{0.51}{(1.06)(1.1)}\right)=64.06^o



Los elementos AB, BC y CD del marco de acero mostrado en la figura están unidos en B y C, asegurados mediante los cables EF y EG. Si E es el punto medio de BC y la tensión en el cable EF es de 110 lb, determine a) el ángulo entre EF y el elemento BC, b) la proyección sobre BC de la fuerza ejercida por el cable EF en el punto E.





B (0 , 16.5 , 0)
C (32 , 7.5 , -24)
E (2 , 0 , 0)
F(16 , 12 , -12)


BC (32 , -9 , -24)

EF (-14 , -12 , 12)


(32 , -9 , -24) (-14 , -12 , 12) = -628



|BC|=\sqrt{(32)^2+(-9)^2+(-24)^2}=41


|EF|=\sqrt{(-14)^2+(-12)^2+(12)^2}=22



cos\theta=\frac{-628}{(22)(41)}


\theta=cos^{-1}\left(\frac{-628}{902}\right)=134.12^o




Una cerca consiste en postes de madera y un cable de acero sujeto a cada poste y anclado al suelo en los puntos A y D. Si la suma de momentos, respecto al eje z, de las fuerzas ejercidas por el cable sobre los postes ubicados en B y C es de '48 lb•ft, determine la magnitud de TDC cuando TBA = 14 lb.







Mz=M\;\bar{T}BA+M\;\bar{T}CD


Momento de la tensión BA


\bar{T}BA=TBA\lambda BA


\bar{T}BA=14\;lb\;\frac{4.5\hat{i}-3\hat{j}+9k}{\sqrt{(4.5)^2+(-3)^2+(9)^2}}


\bar{T}BA=14\;lb\;\frac{4.5\hat{i}-3\hat{j}+9k}{10.5}


\bar{T}BA=6\hat{i}-4\hat{j}+12\hat{k}


Momento de la tensión CD


\bar{T}CD=TCD\lambda CD=TCD\;\frac{6\hat{i}-3\hat{j}-6\hat{k}}{\sqrt{(6)^2+(-3)^2+(-6)^2}}


\bar{T}CD=0.7\;TCD\;\hat{i}-0.12\;TCD\;\hat{j}-0.7\;TCD\;\hat{k}


C (0 , 3 , 0)
D (6 , 0 , -6)


Vector de posición

rB (0 , 3 , 0) = 3 j

rC (0 , 3 , 0) = 3 j



Eje z (tercer vector) = 0 i + 0 j + k



TCD=-48\;lb.ft\;|M\;TBC|+|M\;TCD|



TCD=-48\;lb.ft\left|\begin{matrix}0&0&1\\0&3&0\\6&-4&12\end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}0&0&1\\0&3&0\\0.7\;TCD&-0.33\;TCD&-0.7\;TCD\end{matrix}\right|



TCD=-48\;lb.ft=1\left|\begin{matrix}0&3\\6&-4\end{matrix}\right|+1\left|\begin{matrix}0&3\\0.7\;TCD&-0.33\;TCD\end{matrix}\right|



TCD=-48\;lb.ft=-18-2.1\;TCD



TCD=\frac{48-18}{2.1}=14.28\;lb.ft




Una placa de acero está sometida a la acción de dos pares, según muestra la figura. Determine a) el momento del par formado por las dos fuerzas de 40 N, b) el valor de alfa si d = 820 mm, y la resultante de los dos pares es de 8 N•m en sentido contrario de las manecillas del reloj, c) la distancia perpendicular entre las dos fuerzas de 34 N si la resultante de los dos pares.





a)\;\;(6)40=24\;Nm

M1=24 \;Nm



b)\;\;M1+(-M2)=8

M1=24+(-M2)=8

M2=24-8

M2=16


F.d=F(cos\alpha)(0.82)=24-8=16

cos\alpha=\frac{16}{(24)(0.82)}

cos\alpha=0.813^o

\alpha=arc\;cos(0.813^o)

\alpha=35.6^o



c)\;\;M1-M2=0

M1=M2

24=F.d

d=\frac{M1}{F}=\frac{24}{24}

d=1\;m




Los dos ejes de un reductor de velocidad están sometidos a la acción de los pares M1=18 N•m y M2=7.5 N•m, respectivamente. Reemplace ambos pares por un solo par equivalente y especifique su magnitud y la dirección de su eje.






M=M_1+M_2


a)\;\;\bar{M}=18 k+7.5\hat{i}


b) para encontrar los ángulos (vector unitario).


\frac{\bar{M}}{|M|}=\frac{7.5\hat{i}+18k}{\sqrt{7.5^2+18^2}}=\frac{7.5\hat{i}+18k}{19.5}


\theta x=arc\;cos\left(\frac{7.5}{19.5}\right)=67.6^o

\theta y=arc\;cos\left(\frac{0}{19.5}\right)=90^o

\theta z=arc\;cos\left(\frac{18}{19.5}\right)=22.6^o




Se usan cuatro remolcadores para llevar a un trasatlántico a su muelle. Cada remolcador ejerce una fuerza de 5000 lb en la dirección mostrada en la figura. Determine: a) el sistema equivalente fuerza-par en e mástil mayor O y b) el punto sobre el casco donde un solo remolcador más potente debería empujar al barco para producir el mismo efecto que los cuatro remolcadores originales.






\bar{R}=\sum\bar{F}


\bar{M}o=\sum_1^n(ri\;X\;Fi)



\bar{F}_1=5000\;cos(60^o)\hat{i}+5000\;cos(300^o)\hat{j}


\bar{F}_2=5000\left(\frac{3}{5}\right)\hat{i}-5000\left(\frac{4}{5}\right)\hat{j}


\bar{F}_3=0\;\hat{i}-5000\;\hat{j}


\bar{F}_4=5000\;cos(45^o)\hat{i}+5000\;sen(45^o)\hat{j}


\bar{R}=\sum\bar{F}=9036\;\hat{i}-9790\;\hat{j}



\sum Mo^R=(-90\hat{i}+50\hat{j})\;X\;(2.5\hat{i}-4.33\hat{j})

+(100\hat{i}+50\hat{j})\;X\;(3.0\hat{i}-4\hat{j})

+(400\hat{i}+50\hat{j})\;X\;(-5\hat{j})

+(300\hat{i}-50\hat{j})\;X\;(3.54\hat{i}+3.54\hat{j})

Mo^R=-1035\;\hat{k}



|R|=\sqrt{(9.04)^2+(-9.8)^2}

|R|=13.33\;kips



\theta=tan^{-1}\left(\frac{-9.8}{9.04}\right)

\theta=-47.3^o




Tres cables están unidos a una ménsula, como se muestra en la figura. Reemplace las fuerzas que ejercen los cables por un sistema equivalente fuerza-par en A.







\bar{R}=\sum\bar{F}


M_A^R=\sum \;(\bar{r}\;X\;\bar{F})


A (0 , 0 , 0)
B (45 , 0 , 50)
C (75 , 0 , 0)
D (100, 0 , 0)


F_1=1000\;cos(45^o)\hat{i}-1000\;sen(45^o)\hat{k}

F_1=707.1\hat{i}-707.1\hat{k}


F_2=1200\;cos(60^o)\hat{i}+1200\;sen(60^o)\hat{j}

F_2=600\hat{i}+1034.2\hat{j}


F_3=700\;\frac{75\hat{i}-50\hat{j}+50\hat{k}}{\sqrt{(75)^2+(-50)^2+(50)^2}}=\frac{""}{103.07}

F_3=300\hat{i}-600\hat{j}+200\hat{k}



\bar{R}=1607.1\hat{i}+439.2\hat{j}-507.1\hat{k}



\bar{r}_{AB}=75\hat{i}+0\hat{j}+50\hat{k}

\bar{r}_{AC}=75\hat{i}+0\hat{j}-50\hat{k}

\bar{r}_{AD}=100\hat{i}-100\hat{j}+0\hat{k}



\bar{r}_{AB}\;X\;\bar{F}_B=\left|\begin{matrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\75&0&50\\300&-600&200\end{matrix}\right|=30\hat{i}-45k



\bar{r}_{AC}\;X\;\bar{F}_C=\left|\begin{matrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\75&0&-50\\707.1&0&-707.1\end{matrix}\right|=17.68\hat{j}



\bar{r}_{AD}\;X\;\bar{F}_D=\left|\begin{matrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\100&-100&0\\600&1039.2&0\end{matrix}\right|=163.9k



\sum \;(\bar{r}\;X\;\bar{F})=30\hat{i}+17.68\hat{j}+118.9k\;[N.m]




El marco mostrado sostiene una parte del techo de un peque;o edificio. Se sabe que la tensión en el cable es de 150 kN. Determine la reacción en el extremo fijo E.






\sum Fx=0;

\sum Fy=0;

\sum M_E=0;



tan\theta=\frac{6}{45}


\theta=arc\;tan\left(\frac{6}{45}\right)=53.13^o


Fx=150\;cos\theta=90\;kN


Fy=150\;sen\theta=120\;kN


Ex+90\;kN=0

Ex=-90\;kN=90\;kN\leftarrow


Ey-120\;kN-80\;kN=0

Ey=200\;kN\;\hat{|}


M_E=(1.8)(20kN)+(3.6)(20kN)+(5.4)(20kN)+(7.2)(20kN)+(4.5)(-120kN)

M_E=36+72+108+144-540

M_E=-180\;kN.m=0

M_E=180\;kN




Un seguidor ABCD se mantiene contra una leva circulas gracias a la acción de un resorte estirado, el cual ejerce una fuerza de 6 lb para la posición mostrada en la figura. Si la tensión en la barra BE es de 4 lb determine a) la fuerza ejercida sobre el rodillo en A, b) la reacción en el cojinete C.







\sum Fx=0;\;\;Ax+4-Cx=0


\sum Fy=0;\;\;Ay+Cy-6=0


\sum M_C=0;\;\;1.6Ax+0.8Bx-1.6(6)=0



Ax=A\;cos(60^o)

Ay=A\;sen(60^o)


A\;cos(60^o)+Bx-Cx=0

A\;sen(60^o)+Cy=6

1.6\;(A\;sen(60^o))+0.8Bx=9.6



A=\frac{9.6-3.2}{1.6\;cos(60^o)}=8\;lb


Cy=6-8\;(0.86)=-0.92

Cy=0.92\;lb\downarrow


Cx=8\;(0.5)+4=8\;lb




Un anuncio de densidad uniforme de 5 x 8 ft pesa 270 lb y está apoyado por una rótula en A y por dos cables. Determine la tensión en cada cable y la reacción en A.







E (6 , 0 , 0)
C (1 , 3 , 2)
B (8 , 0 , 0)
D (0 , 4 , 0)



\sum \bar{F}=0; \bar{A}+\bar{T}EC+\bar{T}BD+\bar{W}


\sum \bar{M}o=0;



\bar{T}EC=TEC\lambda EC=TEC\frac{\bar{EC}}{|EC|}=\frac{-6\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}}{\sqrt{(-6)^2+(3)^2+(2)^2}}


=TEC\left(-\frac{6}{7}\hat{i}+\frac{3}{7}\hat{j}+\frac{2}{7}\hat{k}\right)


\bar{T}BD=TBD\lambda BD=\frac{\bar{BD}}{|BD|}=\frac{-8\hat{i}+4\hat{j}-8\hat{k}}{\sqrt{(-8)^2+(4)^2+(-8)^2}}


=TBD\left(-\frac{2}{3}\hat{i}+\frac{1}{3}\hat{j}-\frac{2}{3}\hat{k}\right)


\sum \bar{F}=0; \bar{A}+\bar{T}EC+\bar{T}BD+\bar{W}


Ax\hat{i}+Ay\hat{j}+Az\hat{k}+TEC\left(-\frac{6}{7}\hat{i}+\frac{3}{7}+\frac{2}{7}\hat{k}\right)

+TBD\left(-\frac{2}{3}\hat{i}+\frac{1}{3}\hat{j}-\frac{2}{3}\hat{k}\right)+(-270)\hat{j}


\left(Ax-\frac{6}{7}TEC-\frac{2}{3}TBD\right)\hat{i}+\left(Ay+\frac{3}{7}TEC+\frac{1}{3}TBD-270\right)\hat{j}

+\left(Az+\frac{2}{7}TEC-\frac{2}{3}TBD\right)\hat{k}=0



\sum MA=0;


Momento de W = 4\hat{i} \;\;\;X \;\;\;(-270)\hat{j}=-1080\hat{k}

Momento de TEC = 6\hat{i}\;\;\;X\;\;\;TEC\left(-\frac{6}{7}+\frac{3}{7}\hat{j}+\frac{2}{7}\hat{k}\right)

Momento de TBD = 8\hat{i}\;\;\;X\;\;\;TBD\left(-\frac{2}{3}\hat{i}+\frac{1}{3}\hat{j}-\frac{2}{3}\hat{k}\right)


M\bar{T}EC=TEC\left(\frac{18}{7}\hat{k}-\frac{12}{7}\hat{j}\right)


M\bar{T}BD=TBD\left(\frac{8}{3}\hat{k}+\frac{16}{3}\hat{j}\right)



-\frac{12}{7}TEC+\frac{16}{3}TBD=0


\frac{18}{7}TEC+\frac{8}{3}TBD=1080


Sustituciones para encontrar TEC y TBD


-\frac{12}{7}TEC+\frac{16}{3}TBD=0


TEC=\frac{-16/3TBD}{-12/7}


TEC=\frac{28}{9}TBD



\frac{18}{7}\left(\frac{28}{9}TBD\right)+\frac{8}{3}TBD=1080


8TBD+\frac{8}{3}TBD=1080


\frac{32}{3}TBD=1080


TBD=\frac{1080}{32/3}


TBD=\frac{405}{4}


TBD=101.25


TEC=\frac{28}{9}\left(\frac{405}{4}\right)


TEC=315




\left(Ax-\frac{6}{7}TEC-\frac{2}{3}TBD\right)\hat{i}+\left(Ay+\frac{3}{7}TEC+\frac{1}{3}TBD-270\right)\hat{j}

+\left(Az+\frac{2}{7}TEC-\frac{2}{3}TBD\right)\hat{k}=0



Ax-\frac{6}{7}(315)-\frac{2}{3}(101.3)

=-270-67.53=-337.53\hat{i}



Ay+\frac{3}{7}(315)+\frac{1}{3}(101.3)

=135+33.76=168.76\hat{j}



Az+\frac{2}{7}(315)-\frac{2}{3}(101.3)

=90-67.53=22.46\hat{k}



-337.53\hat{i}+168.76\hat{j}+22.46\hat{k}




Con el uso del método de nodos, determine la fuerza en cada uno de los elementos de la armadura mostrada.







Cuerpo libre de la armadura completa:






\sum Mc=0; (2000lb)(24ft)+(1000)(12ft)-E(6ft)=0

E=10000\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E-10000lb\uparrow

Cx=0

\sum Fx=0;


\sum Fy=0; -2000lb-1000lb+10000lb+Cy=0

Cy=-7000lb\;\;\;\;\;Cy-7000lb\downarrow



Nodo A




\frac{2000lb}{4}=\frac{FAB}{3}=\frac{FAD}{5}


FAB=1500\;lb\; T


FAD=2500\;lb\;C



Nodo D




FDB=FDA


FDE=2\left(\frac{3}{5}\right)FDA


FDB=2500\;lb\;T


FDE=3000\;lb\;C



Nodo B






\sum Fy=0;-1000-\frac{4}{5}(2500)-\frac{4}{5}FBE=0

FBE=-3750lb\;\;\;\;;\FBE=3750\;lb\;C



\sum Fx=0;FBC-1500-\frac{3}{5}(2500)=\frac{3}{5}(3750)=0

FBC=5250\;lb\;T



Nodo E






\sum Fx=0;\frac{3}{5}FEC+3000+\frac{3}{5}(3750)=0

FEC=-8750lb\;\;\;\;\;FEC=8750\;lb\;C



\sum Fy=0;10000-\frac{4}{3}(3750)-\frac{4}{5}(8750)

=10000-3000-7000=0



Nodo C






\sum Fx=0;-5250+\frac{3}{5}(8750)=-5250+5250=0


\sum Fy=0;-7000+\frac{4}{5}(8750)=-7000+7000=0




Determine la fuerza en los elementos EF y GI de la armadura mostrada en la figura.






Cuarpo libre de la armadura completa:






\sum MB=0;

-(28kips)(8ft)-(28kips)(24ft)\;\;\;(16kips)(10ft)+J(32ft)=0

J=33\;kips\uparrow



\sum Fx=0;Bx+16kips=0

Bx=-16kips\;\;\;\;\;Bx=16\;kips\leftarrow






\sum MJ=0;

(28kips)(24ft)+(28kips)(8ft)-(16kips)(10ft)-By(32ft)=0

By=23kips\;\;\;\;\;By-23\;kips\uparrow



Fuerza en el elemento EF







\sum Fy=0;23kips-28kips-FEF=0

FEF=-5\;kips\;\;\;\;\;FEF=5\;kips\;C



Fuerza en el elemento Ci





\sum MH=0;

(33kips)(8ft)-(16kips)(10ft)+FGI(10ft)=0

FGI=-10.4kips\;\;\;\;\;FGI=10.4\;kips\;C



Para el área plana mostrada en la figura, determine: a) los primeros momentos con respecto a los ejes "x" "y" y b) la ubicación de su centroide.







Se divide la figura en diferentes áreas geómetricas para poder calcular el área total:
















\bar{x}=\frac{\sum xiAi}{\sum Ai}=\frac{758\;x\;10^3}{13.82\;x\;10^3}=54.84


\bar{y}=\frac{\sum yiAi}{\sum Ai}=\frac{506\;x\;10^3}{13.82\;x\;10^3}=13.61




La resistencia de una viga W14 x 30 de acero laminado se incrementa uniéndole una placa de 9 x 3/4 in a su patín superior, somo se muestra ne la figura. Determine el momento de inercia y el radio de giro de la sección compuesta con respecto a un eje que es paralelo a la placa y que pasa a través del centroide C de la sección.






El área y la coordenada y del centroide de la placa están dados por:


A=(9in)(0.75in)=6.75in^2

\bar{y}=\frac{1}{2}(13.84)+\frac{1}{2}(0.75)in=7.295in